テンソルの係数の関係
複素添字のノーテーションしんどすぎwwwwたすけて
— れおなち (@leonacism) 2019年6月17日
先日ツイッターでこんなことをつぶやいたのですが、
添字についての線形結合を展開すると楽だよというのを教えてもらいました。
つまり、2階反変テンソルは
$$ A^{\mu\nu} = \frac{dx'^\mu}{dx^\rho} \frac{dx'^\nu}{dx^\lambda} A'^{\rho\lambda} $$
と変換するわけですが、これを、
$$ A^{\mu\nu} \sim A'^{\frac{dx'^\mu}{dx^\rho}\rho ~ \frac{dx'^\nu}{dx^\lambda} \lambda} $$
と書くと、上付きすなわち反変添字についても反変性が成り立っているとみることができます。
一方、2階の共変テンソルについても、
$$ A_{\mu\nu} = \frac{dx'^\rho}{dx^\mu} \frac{dx'^\lambda}{dx^\nu} A'_{\rho\lambda} \sim A'_{\frac{dx'^\rho}{dx^\mu} \rho \frac{dx'^\lambda}{dx^\nu} \lambda} $$
と書くことができて、下付きすなわち共変添字については共変性が成り立っているとみることができます。
なので、これを用いると普通のテンソルを複素変数で書き替えたいとき――例えば2次元のエネルギー運動量テンソルは、
$$ \begin{eqnarray} T_{zz} &= T_{\frac{1}{2}(1-i2) \frac{1}{2}(1-i2)} = \frac{1}{4}\left( T_{11} - T_{22} - 2i T_{12}\right) \\ T_{\bar{z}\bar{z}} &= T_{\frac{1}{2}(1+i2) \frac{1}{2}(1+i2)} = \frac{1}{4}\left( T_{11} - T_{22} + 2i T_{12}\right) \end{eqnarray} $$
となることがすぐにわかります。なぜなら、下付き添字は共変な、すなわち複素微分演算子
$$ \begin{eqnarray} \partial_z = \frac{1}{2}(\partial_1 - i\partial_2) \\ \partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_1 + i\partial_2) \end{eqnarray} $$
と同じ変換性を持つオブジェクトとみることができるからです。
もちろんこれは一般の高階混合テンソルに対しても容易に一般化できます。
こんな感じで基本変数の変換性を添字に直接代入することで機械的に計算が実行できるので、テンソルの係数の変換がちょっと楽になるね～、というTipsでした😉✨
